足球的最佳射门位置

足球是世界上最受欢迎的体育运动，每四年举行一次的国际足联俱乐部（FIFA）世界杯足球赛更是吸引了全世界无数球迷观看。一场足球比赛中最激动人心的时刻莫过于射门和进球，而射门和进球也是一支球队能否获胜的关键。一记射门能否进球得分取决于多种因素，这些因素不仅包括运动员本身的球技，也包括射门所在位置。

射门位置离球门越远，越不容易进球。因此，一记超远吊射也常常为人津津乐道。2022 年波兰足球联赛扎布热对战坡根的比赛中，足球老将波多尔斯在中场线附近以一记超远吊射破门得分（图 1）。著名球星贝克汉姆和鲁尼也用中场吊射的方式进过球。

此外，射门位置的球门视角也极大影响着进球的难易程度，正对着球门方向的射门进球的几率要大于两边。虽然小视角射门得分的难度很大，但在足球比赛中也是出现过的。例如，在 2010 年世界杯巴西对战朝鲜的小组赛中，麦孔在底线附近接近零度视角的情况下射门得分（图 2）。

甚至球门视角为零的角球直接射门得分的情况也是存在的。例如，在2019/20 赛季西班牙超级杯半决赛皇家马德里对战克瓦伦西亚的比赛中，克罗斯就用角球直接射门得分（图 3）。著名球星贝克汉姆和亨利也完成过角球得分的名场面。

相同球门距离的位置可能有着不同的球门视角，而相同球门视角的位置也可能有着不同的球门距离（图 4）。不同的射门位置对进球的影响有多大？或者说如果在某个特定的位置射门，进球的预期概率是多少？本文将从理论和统计两个角度分别建立模型回答这个问题。

模型

理论模型

射门位置到球门距离和射门位置的球门视角是影响射门能否得分的两个重要因素。为研究球门距离和球门视角对能否进球的影响，本文建立了如图 5 所示的坐标系。球门宽度为 = 7.32 m，射门位置 (, ) 到球门（线中点）的距离为 ，到两根球门柱的距离分别为 和 ，球门视角为 。

射门位置到球门的距离可以很容易地由射门位置的坐标 (, ) 表示射门位置的球门视角 也可以由射门位置的坐标 (, ) 表示。由正弦定理可知由上式及余弦定理可得如果假定 ，则上式中的 和 均可表示为 和 的函数因此有根据三角函数关系容易解得接下来，本文定义得分势函数来表示一记射门得分的难易程度。如上所述，得分势函数中的主要参数应该是球门距离 和球门视角 。直观上很容易理解，射门位置离球门越近，进球就越容易。因为球在飞行的过程中速度会降低，球在空中飞行的距离越长，球到达球门的速度和力量就越小，就越容易被守门员守住。此外，射门位置离球门越远，球在空中飞行的时间就越长，留给守门员的反应时间也就越长。另一方面，球门视角越大也就越容易得分。因为球门视角越小，越不容易瞄准。因此，得分势函数 可以定义为与球门距离 成反比，与球门视角 成正比：根据上式可以绘制出图 6 所示的得分势函数及其等势线。得分势函数反映了在不同位置射门时进球的相对难易程度。

在同一条等势线上的位置射门进球的难易程度相当，而势越大的位置射门进球越容易。例如，在图 6 中的绿线上各位置射门进球的难易程度相当，在绿色等势线上各位置射门进球的难度要高于红色等势线。

统计模型

需要注意的是，理论模型给出的得分势函数反映的是得分相对难易程度，并不是一记射门能否得分的直接概率。为了验证理论模型的合理性，以及计算球场上不同位置射门的得分概率，需要统计大量真实的足球比赛数据。本文接下来的分析使用了由 Wyscout 收集的足球比赛事件数据集。该数据集记录了七个赛事（西甲、意甲、德甲、英超、法甲、2018 年 FIFA 世界杯、2016 年欧洲杯）整个赛季的所有比赛事件（传球、射门、犯规等）的时空数据（包含事件的有关位置、时间、结果、球员和特征等信息）。数据集中各事件的位置都由一对坐标 (, ) 表示， 和 是 范围内的整数。 坐标表示事件发生点到对方球门底线边界的距离（以百分比表示），而 坐标表示事件发生点到场地右侧边界的距离（以百分比表示）。

由于本文主要关注于射门的位置和射门的结果（是否得分），因此将球场在长度和宽度方向等间距地划分为 50 50 个格子，并统计了每个格子中发生射门事件的次数 ，结果如图 7。然而，一个格子射门的次数多并不意味着进球的次数多。为此，本文还统计了每个格子中发生射门事件且得分的次数 ，结果如图 8。

由此，可以计算出每个格子中射门的得分频率结果如图 9，如果统计的射门事件足够多，那么每个格子中射门的得分频率 将趋于得分概率 。显然，由于有限的数据，本文获得的得分频率图并不光滑连续。

但从空间得分频率图不难发现，离球门越近，越正对着球门的位置越容易得分。需要注意的是，图 9 中靠近边界的少量格子存在一些高频率的异常格子。这实际上是由于发生在这些格子中的射门次数很少，不具有统计意义。例如某个格子中只发生一次射门，并且这次射门进球了，那么该格子的进球频率就会为 1。

为了估计空间上每个位置射门的得分概率，需要对得分频率进行拟合。根据前文理论模型的分析，某个位置射门得分的难易程度与该位置到球门距离 和球门视角 有关。为此，本文由各格子的坐标 计算出了各格子的球门距离 和球门视角 。并在此基础上拟合进球概率 对 和 的依赖关系。这个问题中，进球与否是离散的二分类因变量，而球门距离 和球门视角 则是连续的自变量。对于因变量为二分类或多分类时，逻辑回归是非常重要的模型。逻辑回归模型的表达形式为逻辑回归是通过极大似然估计求解常数项 和偏回归系数 （ =1, 2, , ），基本思想是当从总体中随机抽取 个样本后，最合理的参数估计量应该使得这 个样本观测值的概率最大。逻辑回归模型的概率表达式为逻辑回归可以很容易由 MATLAB 函数 glmfit 实现。因此，本文选用逻辑回归模型对进球概率与球门视角 和球门距离 进行分析。首先，本文单独考虑进球概率对两个因素的各自依赖关系。利用逻辑回归，可以得到进球概率与球门视角 的依赖关系：相应的拟合结果如图 10 所示。从图中不难看出，当球门视角逐渐由 0 增大到 120 时，进球概率也从几乎为 0 增加到接近 1。

类似地，可以得到进球概率与球门距离 的依赖关系：相应的拟合结果如图 11 所示。从图中不难看出，进球概率随着球门距离的增大，逐渐趋于 0。距离球门超过 20 米的位置射门进球就比较困难了。

接下来，本文考虑进球概率同时对球门视角 和球门距离 的依赖关系。利用逻辑回归，可以得到：相应的空间概率分布如图 12 所示。从概率图中不难看出，球门距离越近、球门视角越大的位置越容易射门进球。对比图 12 和图 6 不难发现，逻辑回归得到的空间概率分布与理论模型给出的得分势函数具有很大的相似性。图 12 中 = 30% 等概率曲线与图 6 中 = 1 等势线与几乎一致。但两图也有一些区别，图 6 中的等势线都通过两个球门柱，但图 12 中较小概率（7%）的等概率曲线与底线的交点并不在门柱位置。

在此基础上，本文还综合考虑了射门位置到底线的距离 、到侧边的距离 、球门距离与球门视角的积 等多种因素对得分概率的影响。通过对各拟合结果的比较分析，本文最终得到并选择如下模型作为射门得分概率的最优模型：相应的空间概率分布如图 13 所示。从图中不难看出，最优模型的等概率曲线都经过门柱。这与角球直接射门得分的事实并不矛盾，因为本文所统计的射门都是发生在正常进攻过程中的，并不包括角球射门的情况。实际上，动态攻守过程中，在底线附近直接射门进球是极为困难的。

通过等概率曲线可以看出，把球盘带到绿线以内射门，进球的概率就能超过 7%。而把球盘带到红线以内再射门，进球的概率就能超过 15%。

结论

不同的射门位置有着不同的球门距离和球门视角，射门位置很大程度地影响着能否进球。基于射门位置的球门距离和球门视角，本文分别从理论和统计两种角度建立模型研究了在不同位置射门的进球预期概率。在理论模型中，本文构造了得分势函数。得分势函数能给出不同位置射门时进球的相对难易程度。为了得到不同位置射门得分的概率，本文对足球比赛事件数据进行了统计分析，应用逻辑回归模型对进球概率与球门视角、球门距离等因素的依赖关系进行了拟合，并最终给出了空间概率图和等概率曲线。

本文的结果给出了球场各位置射门得分的预期概率，这可以告诉球员更应该在哪些位置射门。总体而言，与我们的直觉是一致的：射门位置到球门距离越近、越正对着球门，射门进球的机会越大。当然，这个概率并不适用于所有球员，但得分概率图可以让所有球员了解到不同位置射门得分的难易程度，以便球员权衡自身能力和对方防守情况做出合理的决策。此外，得分概率图的梯度方向还为球员指明了进攻方向。例如，图 13 中绿线附近射门得分的机会是 7%，而沿梯度方向跑几步到达红线附近再射门就可以使得分机会翻倍。

参考资料

[1]

César A Morales. A mathematics-based new penalty area in football: tackling diving. Journal of sports sciences, 34(24):2233–2237, 2016.

[2]

Luca Pappalardo and et al. A public data set of spatio-temporal match events in soccer competitions. Scientific data, 6(1):1–15, 2019:

[3]

David Sumpter. Mathematical modelling of football, 2020:

[4]

David Sumpter. Soccermatics: Mathematical Adventures in the Beautiful Game Pro-Edition. Bloomsbury Publishing, 2017. 238–241.

Wikipedia contributors. Logistic regression — Wikipedia, the free encyclopedia, 2022:

MathWorks. glmfit: Fit generalized linear regression model. 2022:

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号

来源：数学模型

编辑：Quantum Bard

「维维射门教程」射门部位全解析

点击上方 蓝字 关注，更多精彩呈现！

学会射门是踢球中重要的一步，射门技术的关键是脚的部位和球的部位的运用，良好的时机选择正确的射门方法才能使进球的可能性增大。

以下通过介绍几种射门的方式（脚背、脚弓、脚尖、脚内外侧）来展现射门时，腿、脚、姿势等各部位的示范，不足之处望指正。

一、脚背抽射

强有力的射门往往是抽射出来的，力量大球速快，但要吃准部位才能把力量与速度发挥到极致。具体动作与脚背传球大体一致，只不过支撑脚的站位如果有变化，身体的重心要作出相应的调节，摆动腿与支撑腿的角度要把握好（如果球在运动当中的抽射，还要对球有提前的预判）。

1.正脚背射门

触球部位：脚尖到系鞋带的正脚背区域，击球的中部。

踢球时，斜线助跑，支撑脚大步前跨到球的一侧，击球的大腿向后微摆，小腿大幅度后摆，脚面向下绷紧。随后，支撑脚膝盖略微弯曲站立，顺势摆动击球腿来发力，使绷紧的正脚面充分接触到球，将球击出。

2.外脚背射门

触球部位：小脚趾尾端的外脚背区域，击球的中下部。

刚开始，可能不习惯发力方式。需多加练习。如果脚部力量不足或是弱势脚，可以选择将脚面向内侧微微翻转，并绷紧脚面，以获得更大的触球面积。

如选择右脚外脚背射门，则选择向左上方向助跑，其他动作不再赘述。需要大量练习，训练对外脚背的控制力。右脚外脚背射门较易踢出逆时针方向的弧线球。

二、脚内（外）侧搓球

就是所谓的弧线球，球路有弧线使防守队员与守门员产生判断错误，或利用球的弧线线路绕过人墙或防守队员，从而达到相应的目的（这个不用再多说了吧）。

触球部位：脚内侧足弓中心之上的斜面区域，击球的中下部位。

踢球时，斜线助跑，支撑脚大步跨上，微曲，脚掌摆向击球方向。同时使向后摆的击球腿发力，让触球位置与球充分接触，斜向作用，将球搓出。

三、脚弓推射

与脚弓传球大体一致，只不过加大力量，提高精准。

触球部位：内侧脚弓之上，击球的中或中下部。

射门时，斜线助跑，支撑脚站立在球旁或球后，微曲。击球腿发力，同时控制击球脚脚内侧，将球较准确地射向相应方向。

四、脚尖捅射

这个是不会踢球的人最常用的方法，但也有它的优点，比赛中近距离的脚尖捅射很奏效（五人制比赛中经常用到），因为该动作隐蔽，球速快，球的路线难以判断，但是使用的时候要注意不要受伤，脚尖踢球很容易伤脚的。

1.吊射

吊射的种类较多，这里介绍的是采用脚背靠前的位置，击球的底部。

要求吊射的瞬间，支撑脚微曲，后摆的踢球脚迅速发力，使触球部位充分与球底部接触，将球向高处击出。

2.脚尖挑射

脚尖挑射是吊射的一种，在防守队员或门将靠近时使用，用脚尖击球的底部，将球高高挑起，越过防守队员。

挑射时，触球腿的小腿微微向后收。击球瞬间，移动小腿，使脚尖迅速向球戳向球的底部，脚掌发力使脚尖向上勾起，同时向上微抬小腿，让脚尖更随球运动，将球挑飞。

开始时，在原地练习挑球，练习不同距离和不同方向的挑射。熟练后，尝试在移动中进行挑射。这种射门方式，讲究巧劲，注重使用时机，有一定的技巧性。

不同的射门方式有不同的实际效果。但需注意，射门时首要追求的是精准度而非蛮力。找准射门的目标，使用你最准确、最熟习的方式射门。（来源： 足球技巧）

如果喜欢本文 那就分享吧

各位足球爱好者： 感谢大家对“维维足球”的支持与关注，为了方便大家交流，我们组建了“维维青少年足球交流群”，欢迎加入，共同交流、学习，提高，为早日实现中国足球梦想贡献我们的力量。您可以添加号主微信号dl_ysh，由号主拉您入群（加好友时请备注“维维足球”）。

扫描或长按关注“维维足球”

扫描或长按加小编微信

声明 平台重在分享，内容来自网络，对所包含内容的准确性、可靠性或者完整性不提供任何明示或暗示，仅供参考借鉴使用，版权属于作者，如有侵权烦请联系删除。

相关问答

根据本人的经验,以及教练的教导,我认为应该分两种情况。当你距离球门较远时,推荐使用脚背射门,这也是目前的主流射法,也就是在发力(踢球)前,让脚尖尽量前...

一般踢足球可以用脚弓推射,正脚背搓射,正脚背弹射,正脚背抽射,正脚背挑射,外脚背抽射,外交被弹射,技术好的可以用外脚背搓射,以及挑射最练脚法和力量的准...

足球比赛中,定点射门包括点球,直接任意球,和间接任意球。一般都是要求脚法比较好的运动员,去完成。踢定点射门的时候,一般都是用脚内侧,踢出去的球有弧度...

1、脚外侧弯射方法:斜线碎步跑向皮球,当立足脚站在皮球侧近的时候,提腿扭摆身体锁紧脚眼,利用脚外侧抽击皮球偏外三分一处,射球后顺势收膝完成射门动作。...

上述结果得知,下方中间8号区域进球率最高。左上角1号区域进球率最低,右上角3号区域次之。好的射门角度就是踢守门员最难防守的位置,也就是球门的角落。一...

实况足球8里,挑射是怎样设置的?按什么健?(用电脑键盘)键盘讨论回答(3)有两种挑射方式,一是先按射门键然后按加速键,二是先按住换人键再按射门键。第一种...

当然可以了,只要球在球场里,哪个位置都可以射门,禁区只是规定守门员可以用手的区域,和能不能射门没有任何关系,而且足球场上绝大多数的进球都是在禁区里完成的...

看你是罚点球还是任意球,点球是距球门12码,任意球按犯规位置决定看你是罚点球还是任意球,点球是距球门12码,任意球按犯规位置决定

1.将足球锁定在一直使用脚的一边盘带!2.迅速突然用常用脚将足球向同方向横波一下,此时对方会习惯性跟着你一起过去。3.横向助跑两步以后,对准对方两腿之...

抢圈!队员围成一个圈,里面站人,里面的人数根据外圈的人数来定,一般来说外圈四五个人里面一个人,外圈10人左右里面两人,以此类推。外面的人传球控球倒球,练...